Question

【題目】已知圓，直線．

（1）求證：對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）若，求的值；

（3）當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）把直線方程整理為，則該直線過(guò)定點(diǎn)，它在圓的內(nèi)部，從而直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（2）由可以得到弦心距，利用圓心到直線的距離公式可求出．（3）若弦最短時(shí)，則，故可由的斜率求出求的斜率，最后求得的直線方程．

解析：（1）證明：直線可化為：直線恒過(guò)點(diǎn)，將代入可得： ，即在圓內(nèi)部，故對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

（2），圓的半徑為： ，圓心到直線的距離為，故，解得．

（3）由（1）可得時(shí)，弦最短時(shí)，直線的斜率，即，故此時(shí)直線的方程為，即，此時(shí)圓心到直線的距離，故．