Question

定義在N₊上的函數(shù)f（x），滿足f（n+1）=

1 2 f( n 2 )，n為偶數(shù) f(n)，n為奇數(shù)

，
（1）若f（11）=

1

4

，則f（1）

 

．
（2）若f（1）=1，則f（2ⁿ）=

 

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行推理即可．然后利用歸納推理的知識(shí)進(jìn)行推理．

解答：解：（1）∵f（11）=f（10+1）=

1

2

f(5)=

1

2

f(4+1)=

1

2

×

1

2

f(2)=

1

4

f(1+1)=

1

4

f(1)=

1

4

，
∴f（1）=1．
（2）∵2ⁿ是偶數(shù)，
∵f（1）=1，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）=1，
f（3）=

1

2

f(2)=

1

2

f（4）=f（3+1）=f（3）=

1

2

，
f（8）=f（7+1）=f（7）=f（6+1）=

1

2

f(3)=

1

2

×

1

2

=

1

4

=

1

22

f（16）=f（15+1）=f（15）=f（14+1）=

1

2

f(7)=

1

2

×

1

2

f(3)=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

=

1

23

f（32）=f（31+1）=f（31）=f（30+1）=

1

2

f(15)=

1

2

×

1

2

f(7)=

1

2

×

1

2

×

1

2

f(3)=

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

24

，
∴由歸納推理可知f（2ⁿ）=

1

2n-1

．
故答案為：1，

1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出幾個(gè)函數(shù)值的取值，然后歸納出取值規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的觀察能力．