Question

從坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=lnx的切線OP（P為切點(diǎn)），再過切點(diǎn)P引切線的垂線L，L與y軸的交點(diǎn)為Q．
（Ⅰ）求點(diǎn)P及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ）證明：點(diǎn)P是曲線y=lnx上距離點(diǎn)Q最近的點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線垂直的位置關(guān)系即可求點(diǎn)P及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求出Q到直線OP的距離與|PQ|的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

，設(shè)切點(diǎn)為P（a，lna），
則切線斜率k=

1

a

，則切線方程為y-lna=

1

a

（x-a）=

1

a

x-1，
∵直線過原點(diǎn)，∴-lna=-1，
解得a=e，即P（e，1）．即切線方程為y-1=

1

e

（x-e），
過切點(diǎn)P引切線的垂線L，則垂線L的斜率k=-e，
則對(duì)應(yīng)方程為y-1=-e（x-e），
令x=0，則y=1+e²，
即Q的坐標(biāo)為（0，1+e²）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知過原點(diǎn)與y=lnx的切線方程為y=

1

e

x，
即x-ey=0，
則Q到直線x-ey=0的距離d=

|e(1+e2)|

1+e2

=e•

1+e2

，
而|QP|=

e2+(1+e2-1)2

=

e2+e4

=e•

1+e2

=d，
∴點(diǎn)Q到直線OP的距離為|QP|，
即點(diǎn)P是曲線y=lnx上距離點(diǎn)Q最近的點(diǎn)，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．