【題目】已知函數(shù),f(x)=-mx2-m+ln(1-m),(m<1).
(Ⅰ)當(dāng)m=時,求f(x)的極值;
(Ⅱ)證明:函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn).
【答案】(Ⅰ)函數(shù)極大值為,極小值為
;(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù),通過的符號,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,找到極值點(diǎn),可得結(jié)果.
(Ⅱ)計算,采用分類討論的方法,
,
以及
,判斷函數(shù)的單調(diào)性,可得結(jié)果.
(Ⅰ)
,則
在
遞增,
在遞減,在
上遞增,
所以函數(shù)極大值為,
極小值為.
(Ⅱ)
①當(dāng)時,
,
只有一個零點(diǎn)0,符合題意;
②當(dāng)時,
在
單調(diào)遞增,
在單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增,
,
令,
,
顯然單調(diào)遞減,有
,即
,
則只有一個零點(diǎn),符合題意;
③當(dāng)時,
在
單調(diào)遞增,
在單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增,
,
,由②構(gòu)造的函數(shù)知,
,
則只有一個零點(diǎn),符合題意.
綜上所述,時,函數(shù)
有且只有一個零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn),點(diǎn)M為BB1的中點(diǎn).
(1)求證:PB1⊥平面PAC;
(2)求直線CM與平面PAC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年10月中上旬是小麥的最佳種植時間,但小麥的發(fā)芽會受到土壤、氣候等多方面因素的影響.某科技小組為了解晝夜溫差的大小與小麥發(fā)芽的多少之間的關(guān)系,在不同的溫差下統(tǒng)計了100顆小麥種子的發(fā)芽數(shù),得到了如下數(shù)據(jù):
溫差 | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
發(fā)芽數(shù) | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
(1)請根據(jù)統(tǒng)計的最后三組數(shù)據(jù),求出關(guān)于
的線性回歸方程
;
(2)若由(1)中的線性回歸方程得到的估計值與前兩組數(shù)據(jù)的實(shí)際值誤差均不超過兩顆,則認(rèn)為線性回歸方程是可靠的,試判斷(1)中得到的線性回歸方程是否可靠;
(3)若100顆小麥種子的發(fā)芽率為顆,則記為
的發(fā)芽率,當(dāng)發(fā)芽率為
時,平均每畝地的收益為
元,某農(nóng)場有土地10萬畝,小麥種植期間晝夜溫差大約為
,根據(jù)(1)中得到的線性回歸方程估計該農(nóng)場種植小麥所獲得的收益.
附:在線性回歸方程中,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn)
且離心率為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在過點(diǎn)的直線
與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且滿足
.若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的極值點(diǎn);
(2)若,函數(shù)
有兩個極值點(diǎn)
,
,且
,求
的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:)得頻率分布直方圖如下:
(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記表示事件:“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于
,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于
”,估計
的概率;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有
的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量 | 箱產(chǎn)量 | |
舊養(yǎng)殖法 | ||
新養(yǎng)殖法 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著電子商務(wù)的發(fā)展, 人們的購物習(xí)慣正在改變, 基本上所有的需求都可以通過網(wǎng)絡(luò)購物解決. 小韓是位網(wǎng)購達(dá)人, 每次購買商品成功后都會對電商的商品和服務(wù)進(jìn)行評價. 現(xiàn)對其近年的200次成功交易進(jìn)行評價統(tǒng)計, 統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.
對服務(wù)好評 | 對服務(wù)不滿意 | 合計 | |
對商品好評 | 80 | 40 | 120 |
對商品不滿意 | 70 | 10 | 80 |
合計 | 150 | 50 | 200 |
(1) 是否有的把握認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)? 請說明理由;
(2) 若針對商品的好評率, 采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易, 并從中選擇兩次交易進(jìn)行觀察, 求只有一次好評的概率.
(,其中
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD,現(xiàn)計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F,為緩解交通壓力,決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF,設(shè)
Ⅰ
為減少對周邊區(qū)域的影響,試確定E,F的位置,使
與
的面積之和最��;
Ⅱ
為節(jié)省建設(shè)成本,求使
的值最小時AE和BF的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查一款電視機(jī)的使用時間,研究人員對該款電視機(jī)進(jìn)行了相應(yīng)的測試,將得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示:
并對不同年齡層的市民對這款電視機(jī)的購買意愿作出調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),試估計該款電視機(jī)的平均使用時間;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“愿意購買該款電視機(jī)”與“市民的年齡”有關(guān);
(3)若按照電視機(jī)的使用時間進(jìn)行分層抽樣,從使用時間在[0,4)和[4,20]的電視機(jī)中抽取5臺,再從這5臺中隨機(jī)抽取2臺進(jìn)行配件檢測,求被抽取的2臺電視機(jī)的使用時間都在[4,20]內(nèi)的概率.
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