Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），再寫一式，兩式相減，化簡(jiǎn)可得{S_n+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出S_n=2ⁿ⁺¹-2，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②
①-②得na_n=（n-1）S_n-（n-2）S_n-1+2
∴na_n=n（S_n-S_n-1）-S_n+2S_n-1+2
∴na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2．
∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n=2S_n-1+2，
∴S_n+2=2（S_n-1+2）．
∵S₁+2=4≠0，∴S_n-1+2≠0，
∴{S_n+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴S_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，
n=1時(shí)，a₁=S₁=2，也滿足上式，
∴a_n=2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．