Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+b（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為

π

2

，若將f（x）的圖象先向左平移

π

12

個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得的函數(shù)g（x）的為奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的對(duì)稱中心；
（2）若關(guān)于x的方程3[g（x）]²+m•g（x）+2=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由周期求得ω，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）=sin（2x+

π

6

+φ）+b-1，再根據(jù)g（x）的為奇函數(shù)求得φ和b的值，可得f（x）和g（x）的解析式以及f（x）的對(duì)稱中心．
（2）由（1）可得 g（x）=sin2x，由題意可得可得關(guān)于t的方程 3t²+m•t+2=0在區(qū)間（0，1）上有唯一解．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得m的范圍．

解答： 解：（1）由題意可得

T

2

=

π

ω

=

π

2

，∴ω=2，f（x）=sin（2x+φ）+b，
∴g（x）=sin[2（x+

π

12

）+φ]+b-1=sin（2x+

π

6

+φ）+b-1．
再結(jié)合函數(shù)g（x）的為奇函數(shù)，可得

π

6

+φ=kπ，k∈z，且b-1=0，
再根據(jù)-

π

2

＜φ＜

π

2

，可得φ=-

π

6

，b=1，∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+1，g（x）=sin2x．
令2x-

π

6

=nπ，n∈z，可得 x=

nπ

2

+

π

12

，∴f（x）的對(duì)稱中心（

nπ

2

+

π

12

，1）．
（2）由（1）可得 g（x）=sin2x，在區(qū)間[0，

π

2

]上，2x∈[0，π]，
令t=g（x），則t∈[0，1]．
由關(guān)于x的方程3[g（x）]²+m•g（x）+2=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
可得關(guān)于t的方程 3t²+m•t+2=0在區(qū)間（0，1）上有唯一解．
令h（t）=3t²+m•t+2，∵h(yuǎn)（0）=2＞0，則滿足h（1）=3+m+2＜0，或

△=m2-24=0 0＜- m 6 ＜1

，
求得m＜-5，或 m=-2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．