Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax³+x+1的圖象在點（1，f（1））的處的切線過點（3，7）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（-4）+f（-3）+…+f（3）+f（4）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由條件解方程可得a，進而得到函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）計算f（-x）+f（x）=2，即可得到所求式的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3ax²+1，
∴在點（1，f（1））的處的切線斜率為f′（1）=3a+1，
又 $f'（1）=\frac{{7-（{a+2}）}}{3-1}=\frac{5-a}{2}$，
∴$a=\frac{3}{7}$，得f（x）=$\frac{3}{7}$x³+x+1；
（Ⅱ）由f（-x）+f（x）=-$\frac{3}{7}$x³-x+1+$\frac{3}{7}$x³+x+1=2，
設(shè)S=f（-4）+f（-3）+…+f（3）+f（4），
又S=f（4）+f（3）+…+f（-3）+f（-4），
兩式相加可得，2S=2×9，
解得S=9．即所求值為9．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要是奇函數(shù)的定義，屬于中檔題．