Question

已知拋物線C的方程為 y²=4x．
（Ⅰ）寫出其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程；
（Ⅱ）直線l過焦點(diǎn)F，斜率為1，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線方程求得p，則根據(jù)拋物線性質(zhì)可求得拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程；
（Ⅱ）由題意可得直線AB的方程為y=x-1，聯(lián)立

y2=4x y=x-1

，可得x²-6x+1=0，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，
由拋物線的定義可知，AB=AF+BF=x₁+1+x₂+1，代入可求線段AB的長

解答： 解：（Ⅰ）由于拋物線C的方程為 y²=4x，
則焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線 l：x=-1；
（Ⅱ）由已知直線l的方程為y=x-1，
它和曲線C交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y2=4x y=x-1

消y得：x²-6x+1=0（*）
則△=32＞0，x₁+x₂=6，
由拋物線的定義知：|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=8．
所以，線段AB的長為8．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于中檔題