【題目】設(shè)函數(shù), ).

(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請(qǐng)求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)當(dāng)時(shí), 的單調(diào)增區(qū)間為; 時(shí), 的單調(diào)增區(qū)間為;(2)0.

【解析】試題分析:(Ⅰ)先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即為使導(dǎo)函數(shù)大于零的區(qū)間,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分段討論 的不同取值范圍時(shí)的單調(diào)增區(qū)間即可.

(Ⅱ)單調(diào)遞增,存在唯一,使得,即,當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,所以 求得的范圍,得到的范圍,得到最小整數(shù)值.

試題解析:(1)

①當(dāng)時(shí),由,解得;

②當(dāng)時(shí),由,解得;

③當(dāng)時(shí),由,解得;

綜上所述,

當(dāng)時(shí), 的單調(diào)增區(qū)間為;

時(shí), 的單調(diào)增區(qū)間為.

(2)當(dāng)時(shí), , ,

所以單調(diào)遞增, ,

所以存在唯一,使得,即,

當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,

所以

,

記函數(shù),則上單調(diào)遞增,

所以,即,

,且為整數(shù),得,

所以存在整數(shù)滿足題意,且的最小值為0.

點(diǎn)晴:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)、不等式等知識(shí). 解答此類問(wèn)題,應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域,否則,寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯(cuò). 解決含參數(shù)問(wèn)題及不等式問(wèn)題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化:(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題,要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.(2)將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題處理.

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(Ⅱ)因?yàn)閷W(xué)習(xí)專業(yè)的原因,體育生常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉,藝術(shù)生則很少進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉,若從第一組和第二組的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名,該學(xué)生是體育生的概率為0.8,請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為心率小于60次/分與常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉有關(guān)?說(shuō)明你的理由.

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式: ,其中

心率小于60次/分

心率不小于60次/分

合計(jì)

體育生

20

藝術(shù)生

30

合計(jì)

50

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