(2013•寧波模擬)已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若f(x)≥3恒成立,求a的取值范圍.
分析:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x-lnx,求出f′(x),在定義域內(nèi)解不等式f′(x)<0,f′(x)>0即可得到單調(diào)區(qū)間,由單調(diào)性即可得到極值;
(2)f(x)≥3恒成立即a≥
3
x
+
lnx
x
恒成立,問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)=
3
x
+
lnx
x
,x∈(0,e]的最大值,利用導(dǎo)數(shù)即可求得;
解答:解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x-lnx,f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
,
當(dāng)0<x<1時,f′(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)1<x<e時,f′(x)>0,此時f(x)為單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=1時f(x)取得極小值,f(x)的極小值為f(1)=1,f(x)無極大值;
(2)∵f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],
∴ax-lnx≥3在x∈(0,e]上恒成立,即a≥
3
x
+
lnx
x
在x∈(0,e]上恒成立,
g(x)=
3
x
+
lnx
x
,x∈(0,e],
g(x)=-
3
x2
+
1-lnx
x2
=-
2+lnx
x2
,
令g′(x)=0,則x=
1
e2
,
當(dāng)0<x<
1
e2
時,f′(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)
1
e2
<x<e
時,f′(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減,
g(x)max=g(
1
e2
)=3e2-2e2=e2
,
∴a≥e2,即a的取值范圍為a≥e2
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極值及函數(shù)恒成立問題,具有一定綜合性,恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決.
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(2013•寧波模擬)如圖,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長等于C1的短軸長.C2與y軸的交點為M,過坐標(biāo)原點O的直線l與C2相交于點A、B,直線MA,MB分別與C1相交于點D、E.
(1)求C1、C2的方程;
(2)求證:MA⊥MB.
(3)記△MAB,△MDE的面積分別為S1、S2,若
S1
S2
,求λ的取值范圍.

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MF1
MF2
的點M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是
(O,
2
2
(O,
2
2

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(2013•寧波模擬)等差數(shù)列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n項和為sn
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式.
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足 bn=
1
sn+1-1
,其前n項和為Tn,求證Tn
3
4

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