Question

【題目】已知函數(shù)滿足如下條件：

①函數(shù)的最小值為，最大值為9；

②且；

③若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值為2．

試探究并解決如下問題：

（Ⅰ）求，并求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的圖象的對稱軸方程；

（Ⅲ）設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn)，求的值的集合．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由函數(shù)的最值結(jié)合三角函數(shù)的最值可求得，；由函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值為2，可得，根據(jù)即可得；由且，可得，驗證即可得；再由函數(shù)周期性即可得；

（Ⅱ）由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可令，化簡即可得解；

（Ⅲ）由題意可得，進(jìn)而可得，

或，或，化簡后代入，分別求解即可.

（Ⅰ）因為，，

所以,,

所以，．

所以．

設(shè)的最小正周期為，

因為在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值為2，

所以，所以，所以即，

所以．

因為，所以，

所以，即．

因為，所以或．

若，則，此時，不合題意；

若，則，此時，符合題意；

所以．

所以．

因為的最小正周期為4，

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

令，得．

所以函數(shù)的對稱軸方程是．

（Ⅲ）令，則，所以函數(shù)的零點(diǎn)都滿足：

或．

因為，是函數(shù)的零點(diǎn)，所以，

或，或，

即，或，

或．

所以，

或，

或．

故的值的集合為.