Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2x+1（a∈R）．
（1）若f（x）的圖象與x軸恰有一個公共點，求a的值；
（2）若方程f（x）=0至少有一正根，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）二次項系數(shù)為參數(shù)，先對其分類討論，在結(jié)合一次函數(shù)二次函數(shù)的圖象求解．
（2）當函數(shù)為一次函數(shù)時直接求根即可，為二次函數(shù)時須分①兩正根②一正一負③一正一零三種情況來考慮．

解答：解：（1）若a=0，則f（x）=2x+1，
f（x）的圖象與x軸的交點為(-

1

2

，0)，滿足題意．
若a≠0，則依題意得：△=4-4a=0，即a=1．
故a=0或1．
（2）顯然a≠0．若a＜0，則由x1x2=

1

a

＜0可知，方程f（x）=0有一正一負兩根，此時滿足題意．
若a＞0，則△=0時，a=1，此時x=-1，不滿足題意．
△＞0時，此時x₁+x₂=-

2

a

＜0，x₁x₂=-

1

a

＞0，所以方程有兩負根，也不滿足題意．
故  a＜0．

點評：二次函數(shù)的實根分布問題是高考的一個熱點問題，判斷二次函數(shù)的零點分布的關(guān)鍵在于作出二次函數(shù)的圖象的草圖，根據(jù)草圖通常從判別式，對稱軸的位置，特殊點的函數(shù)值這三個角度列出不等式組求解．