Question

17．在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a²+b²+2c²=8，則△ABC面積的最大值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理可求S²=$\frac{1}{4}$a²b²-$\frac{（8-3{c}^{2}）^{2}}{16}$，進(jìn)而利用基本不等式，從而可求S²≤$\frac{4}{5}$-$\frac{5}{16}$（c²-$\frac{8}{5}$）²，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值．

解答 解：由三角形面積公式可得：S=$\frac{1}{2}$absinC，
可得：S²=$\frac{1}{4}$a²b²（1-cos²C）=$\frac{1}{4}$a²b²[1-（$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）²]，
∵a²+b²+2c²=8，
∴a²+b²=8-2c²，可得：a²+b²=8-2c²≥2ab，解得：ab≤4-c²，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，
∴S²=$\frac{1}{4}$a²b²[1-（$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）²]
=$\frac{1}{4}$a²b²[1-（$\frac{8-3{c}^{2}}{2ab}$）²]
=$\frac{1}{4}$a²b²-$\frac{（8-3{c}^{2}）^{2}}{16}$
≤$\frac{1}{4}$（4-c²）²-$\frac{（8-3{c}^{2}）^{2}}{16}$
=-$\frac{5{c}^{4}}{16}$+c²
=$\frac{4}{5}$-$\frac{5}{16}$（c²-$\frac{8}{5}$）²，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，
∴當(dāng)c²=$\frac{8}{5}$時(shí)，-$\frac{5{c}^{4}}{16}$+c²取得最大值$\frac{4}{5}$，S的最大值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，基本不等式，二次函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想，難度中等．