Question

【題目】對于項數為（）的有窮正整數數列,記（），即為中的最大值，稱數列為數列的“創(chuàng)新數列”.比如的“創(chuàng)新數列”為.

（1）若數列的“創(chuàng)新數列”為1,2,3,4,4，寫出所有可能的數列；

（2）設數列為數列的“創(chuàng)新數列”，滿足（），求證： （）；

（3）設數列為數列的“創(chuàng)新數列”，數列中的項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求出所有的數列.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）創(chuàng)新數列為1,2,3,4,4的所有數列，可知其首項是1，第二項是2，第三項是3，第四項是4，第五項是1或2或3或4，可寫出；（2）由題意易得， ，從而可得，整理即證得結論；（3）驗證當時，不滿足題意，當時，根據而得，同理， ，而當時不滿足題意.

試題解析：（1）所有可能的數列為； ； ；

（2）由題意知數列中. 又，所以 ，所以，即（）

（3）當時，由得，又所以，不滿足題意；當時，由題意知數列中，又

當時此時， 而，所以等式成立；

當時此時， 而，所以等式成立；

當， 得，此時數列為.

當時， ，而，所以不存在滿足題意的數列.綜上數列依次為.