Question

函數(shù)f（x）=x²（e^x-1+ax+b），已知x=-2和x=1為y=f′（x）的零點．
（1）求a和b的值；
（2）設g（x）=，證明：對?x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）≥0．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=x²（e^x-1+ax+b），知f′（x）=2x（e^x-1+ax+b）+x²（e^x-1+a），由x=-2和x=1為y=f′（x）的零點，解得a=-，b=-1．
（2）由（1）知f（x）=x²（e^x-1-x-1），由g（x）=，知f（x）-g（x）=x²（e^x-1-x-1）-（）=x²•e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），由此能夠證明對?x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）≥0．
解答：解：（1）∵f（x）=x²（e^x-1+ax+b），
∴f′（x）=2x（e^x-1+ax+b）+x²（e^x-1+a），
∵x=-2和x=1為y=f′（x）的零點，
∴，
解得a=-，b=-1．
（2）由（1）知f（x）=x²（e^x-1-x-1），
∵g（x）=，
∴f（x）-g（x）=x²（e^x-1-x-1）-（）
=x²•e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），
設g（x）=e^x-1-x
則g′（x）=e^x-1-1，
當x＞1時，g′（x）＞0
g（x）增，g（x）＞g（1）=0
故x＞1時，e^x-1＞x
0＜x≤1時，e^x-1≥x，
x≤0時，e^x-1＞0≥x
綜上，總有e^x-1≥x，
∵x²≥0，
∴對?x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）≥0．
點評：本題考查參數(shù)值的求法和證明不等式，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．