Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫出a_n和S_n關(guān)于n的表達式；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）是否存在自然數(shù)n，使得？若存在，求n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），（2分）
得a_n-a_n-1=4（n=2，3，4，）．（3分）
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，4為公差的等差數(shù)列．（4分）
∴a_n=4n-3．（5分）．（6分）
（Ⅱ）=
=（8分）
==．（10分）
（Ⅲ）由S_n=2n²-n得：，（11分）
∴．（13分）
令n²=400，得n=20，所以，存在滿足條件的自然數(shù)n=20．（14分）
分析：（Ⅰ）由題意知a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），從而得到a_n-a_n-1=4（n=2，3，4，）．由此可知a_n=4n-3．所以．
（Ⅱ）由題設(shè)知==；計算可得答案．
（Ⅲ）由題設(shè)條件知，所以．由此可知存在滿足條件的自然數(shù)n=20．
點評：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．