Question

如圖，在棱長為5的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是棱AB上的一條線段，且EF=2，Q是A₁D₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱C₁D₁上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體PQEF的體積為    ．

Answer 1

【答案】分析：由棱長為5的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是棱AB上的一條線段，且EF=2，Q是A₁D₁中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱C₁D₁上動(dòng)點(diǎn)，由于Q點(diǎn)到EF的距離固定，故底面積的大小于EF點(diǎn)的位置沒有關(guān)系，又根據(jù)C₁D₁∥EF得到C₁D₁與面QEF平行，則點(diǎn)P的位置對(duì)四面體PQEF的體積的沒有影響，進(jìn)而我們易求得四面體PQEF的體積．
解答：解：連接QA，則QA到為Q點(diǎn)到AB的距離，
又∵EF=2，故S_△QEF為定值，
又∵C₁D₁∥AB，則由線面平行的判定定理易得
C₁D₁∥面QEF，
又由P是棱C₁D₁上動(dòng)點(diǎn)，故P點(diǎn)到平面QEF的距離也為定值，
即四面體PQEF的底面積和高均為定值
故四面體PQEF的體積為定值，為：
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積，其中根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及其性質(zhì)，判斷出四面體PQEF的底面積和高均為定值，是解答本題的關(guān)鍵．