Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)， ，且，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)， ，討論兩種情況即可得解（2）， 由題意， 是方程的兩個(gè)根，所以，① ，②聯(lián)立①②得出，所以令，所以， ，因此只需證明當(dāng)時(shí)，不等式 成立即可，即不等式成立，構(gòu)造差函數(shù)研究單調(diào)性即可得證.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， ，

令， ，

當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)在上恒成立，

故可得在上恒成立，即當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，解得或，

方程的兩根為和，

當(dāng)時(shí)，可知， ，此時(shí)在上， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，易知， ，此時(shí)可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上可知，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（2），

，由題意， 是方程的兩個(gè)根，所以，①

，②

①②兩式相加可得，③

①②兩式相減可得，④

由③④兩式消去可得，

所以，

設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，所以， ，

因此只需證明當(dāng)時(shí)，不等式 成立即可，即不等式成立．

設(shè)函數(shù)，由（1）可知， 在上單調(diào)遞增，故，即證得當(dāng)時(shí)， ，亦即證得，

所以，即證得．