Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，并且與圓：相外切，設(shè)動(dòng)圓的圓心的軌跡為.

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求的值；

（3）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線：，點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）利用動(dòng)圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)及外切關(guān)系可求；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合中點(diǎn)公式，得到，進(jìn)而可求；

（3）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，證明直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

（1）設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，則由題意可得，即，

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，

所以曲線的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立得，

，，

.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，代入曲線方程得；

整理可得；

，

因?yàn)?/span>恰為雙曲線的漸近線，且其中一條漸近線的傾斜角為，

所以，所以.

綜上可得.

（3）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，,，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，

直線，當(dāng)時(shí)，，

，聯(lián)立得，

，，

下面證明直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即證， ，

把，代入整理得，

即，

所以直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).