Question

【題目】已知橢圓：，直線交橢圓于，兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦的長；

（2）若直線的斜率不為0且過點(diǎn)，為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）設(shè)出,兩點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合關(guān)系式,即可得線段的中點(diǎn)坐標(biāo).利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程.再結(jié)合弦長公式即可求得弦的長;

（2）設(shè)出直線的方程,根據(jù)M的坐標(biāo)及可知.由兩點(diǎn)的斜率公式,可得,將,兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程后,整理代入的表達(dá)式,聯(lián)立圓的方程,即可得關(guān)于的方程.進(jìn)而用韋達(dá)定理求得n的值即可.

（1）設(shè),

由,且點(diǎn),得,.①

∴線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,其在橢圓內(nèi)

由兩式相減得,

整理得,即.

將①代入,得.

∴直線方程為,即.

聯(lián)立消去得,

由韋達(dá)定理得,.

∴.

（2）設(shè)直線的方程為,由題意得,

由已知,可知,,三點(diǎn)共線,即.

∴,即,

解得.

將,,代入得.②

聯(lián)立消去得

由韋達(dá)定理得,.③

將③代入②得到