Question

某工廠擬建一座平面圖（如圖所示）為矩形且面積為200m²的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16m．如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元（池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋）．
（1）寫出總造價(jià)y（元）與污水處理池長x（m）的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；
（2）求污水處理池的長和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)水池的長為x，則寬為，求出池外的造價(jià)；求出中間兩條隔墻的造價(jià)；求出池底的造價(jià)；將三個(gè)造價(jià)加起來即為總造價(jià)；據(jù)長、寬都大于0小于等于16求出定義域．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)在定義域上的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．
解答：解：（1）因污水處理水池的長為．（5分）
由題設(shè)條件即函數(shù)定義域?yàn)閇12.5，16]（7分）
（2）由（1）得（8分）
當(dāng)x∈[12.5，16]時(shí)，y'＜0；
故函數(shù)y=f（x）在[12.5，16]上是減函數(shù)．（10分）
∴當(dāng)x=16時(shí)，y取得最小值，
此時(shí)（元）此時(shí)（13分）
綜上，當(dāng)污水處理池的長為16m，寬為12.5m時(shí)，總造價(jià)最低，最低為45000元．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查將實(shí)際問題中的最值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)最值、利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值．