【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長(zhǎng)為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線恒過一定點(diǎn).

【答案】（1）橢圓的方程為 ，拋物線的方程為；（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可知，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組可知橢圓的方程為 ，拋物線的方程為.

(2)由題意設(shè)直在x軸的截距方程： ，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，結(jié)合斜率公式可得直線的方程為，整理變形即： ，據(jù)此可知直線恒過定點(diǎn).

試題解析：

(1)設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，可得，則，

代入，得，即，所以，

則有，

所以橢圓的方程為 ，拋物線的方程為.

（2）依題意，可知直線的斜率不為0，可設(shè)，

聯(lián)立 ，得，設(shè)，則，

，得或， ，

所以直線的斜率，

可得直線的方程為，

即

，所以當(dāng)或時(shí)，直線恒過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．

（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式；

（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求量n

14

15

16

17

18

19

20

頻數(shù)

10

20

16

16

15

13

10

①假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，求這100天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)；

②若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 過點(diǎn)， ， 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交橢圓于， ，求內(nèi)切圓面積的最大值和此時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中， 平面， ， .過的平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).

(l)求證： 平面；

(Ⅱ)求證：四邊形為平行四邊形；

(Ⅲ)若是，求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；

（Ⅱ）判斷方程（為的導(dǎo)數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)，說明理由；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在等腰梯形中， ，上底，下底，點(diǎn)為下底的中點(diǎn)，現(xiàn)將該梯形中的三角形沿線段折起，形成四棱錐.

（1）在四棱錐中，求證： ；

（2）若平面與平面所成二面角的平面角為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)．

①求最大整數(shù)值；

②證明： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)且與直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若為橢圓上任意-點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線距離最小時(shí)，求點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E： 的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k（k＞0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA．

（1）當(dāng)t=4，|AM|=|AN|時(shí)，求△AMN的面積；

（2）當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍．

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