Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且s_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

an

n+1

-

n+1

an

，記數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：T_n＜

4

3

，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，即可確定a_n與a_n-1的關(guān)系，從而構(gòu)造新數(shù)列{

an

2n

}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求通項(xiàng)公式

an

2n

，從而得到答案；
（2）根據(jù)a_n的通項(xiàng)公式，可以得到b_n的通項(xiàng)公式，即可確定

1

bn

的通項(xiàng)公式，然后利用放縮法，即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，n∈N^*，①
∴S₁=2a₁-2¹⁺¹，解得a₁=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，②
①-②，可得S_n-S_n-1=（2a_n-2ⁿ⁺¹）-（2a_n-1-2ⁿ），即a_n=2a_n-2a_n-1-2，
∴a_n-2a_n-1=2ⁿ，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，{

an

2n

}是以1為公差的等差數(shù)列，
∵

a1

21

=2，∴

an

2n

=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=（n+1）2ⁿ；
（2）∵b_n=

an

n+1

-

n+1

an

，a_n=（n+1）2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-

1

2n

，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，
∵2ⁿ-

1

2n

=2（2^n-1-

1

2n+1

）＞2（2^n-1-

1

2n-1

），
∴b_n＞2b_n-1，
∴

1

bn

＜

1

2

1

bn-1

（n≥2），
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

1

b1

+

1

2

（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

）＜

1

b1

+

1

2

T_n，
∴T_n＜

2

b1

=

4

3

，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=

1

b1

=

2

3

＜

4

3

．
綜上，T_n＜

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的去通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和，以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用．在求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，要注意觀察題中所給式子的特點(diǎn)，判斷用什么方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，本題所給表達(dá)式中含有S_n與a_n，從而確定應(yīng)用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

解題．屬于中檔題．