Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1，
（1）求證：BC⊥AF；
（2）若點(diǎn)M在線(xiàn)段AC上，且滿(mǎn)足CM=

1

4

CA，求證：EM∥平面FBC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先分別證明出EA⊥BC和BC⊥AB，進(jìn)而利用線(xiàn)面垂直的判定證明出BC⊥平面ABFE，最后通過(guò)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證明出AF⊥BC．
（2）作MG∥AB，交BC于G，連接FG，通過(guò)比例關(guān)系證明出EF∥MG，EF=MG，進(jìn)而通過(guò)證明四邊形EFGM為平行四邊形，證明出FG∥EM，最后利用線(xiàn)面平行的判定定理證明出結(jié)論．

解答： （1）證明：∵EA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴EA⊥BC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC⊥AB，
∵AB∩AE=A，AB?平面ABFE，AE?平面ABFE，
∴BC⊥平面ABFE，
∵AF?平面ABFE，
∴AF⊥BC．
（2）證明：作MG∥AB，交BC于G，連接FG，
∵

CM

CA

=

1

4

，
∴

MG

AB

=

1

4

=1，
∵EF∥AB，EF=1，
∴EF∥MG，EF=MG，
∴四邊形EFGM為平行四邊形，
∴FG∥EM，
∵EM?平面FBC，F(xiàn)G?平面FBC，
∴EM∥平面FBC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面平行和線(xiàn)面垂直的判定定理的應(yīng)用．注重了對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用和理解．