Question

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

2

2

，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為

2

．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）A為橢圓左頂點，P，Q為橢圓上異于A的任意兩點，若

AP

⊥

AQ

，求證：直線PQ過定點并求出定點坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）首先，設該橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，然后，利用待定系數(shù)法，建立關系式，利用離心率和通徑長建立方程組，求解a和b即可；
（2）首先，設直線PQ：x=my+n，然后，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），然后，聯(lián)立方程組，消去y，結合

AP

⊥

AQ

，建立等式，求解定點即可．

解答： （1）設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

 ①
∵

2b2

a

=

2

  ②
聯(lián)立①②，解得
a=

2

，b=1
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設PQ：x=my+n，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入橢圓方程得（m²+2）y²+2mny+n²-2=0，
∴△≥0，y1+y2=

-2mn

m2+2

，y1y2=

n2-2

m2+2

，
又

AP

⊥

AQ

，
∴(x1+

2

)(x2+

2

)+y1y2=0⇒(my1+n+

2

)(my2+n+

2

)+y1y2=0，⇒(1+m2)y1y2+m(n+

2

)y1y2+(n+

2

)2=0，
(1+m2)

n2-2

m2+2

+m(n+

2

)

-2mn

m2+2

+(n+

2

)2=0，
化簡得：3n2+4

2

n+2=0⇒n=-

2

3

或n=-

2

（舍去）
∴直線PQ：x=my-

2

3

，即過定點(-

2

3

，0)．

點評：本題重點考查了橢圓的標準方程的求解、橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系等知識，屬于綜合性題目，本題需要注意直線方程的設法，直線過定點問題的處理思路和方法等，屬于中檔題．