Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E為邊AD的中點，點F在邊DC上，且DF=

1

4

DC．將△ABE折起到三角形PBE的位置，且平面PBE⊥平面BCDE．
（1）證明：平面PBE⊥平面PEF；
（2）求直線PF與平面BCDE所成的角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間角

分析：（1）由題設(shè)條件推導(dǎo)出EF⊥BE，從而得到EF⊥平面PBE，由此能證明平面PBE⊥平面PEF．
（2）在△PBE中作PO⊥BE，垂足為O，連接OF，則∠PFO為直線PF與平面BCDE所成的角，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：∵點E為邊AD的中點，點F在邊DC上，且DF=

1

4

DC，∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，
∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
∵EF?平面PEF，
∴平面PBE⊥平面PEF．
（2）解：在△PBE中作PO⊥BE，垂足為O，則
∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴PO⊥平面PBE，
連接OF，則∠PFO為直線PF與平面BCDE所成的角．
設(shè)AB=4，由（1）得PB=4，PE=2，BE=2

5

，PO=

4 5

5

，OE=

1

2

AO=

2 5

5

，
∵OE⊥EF，∴EF=

5

，OE=

2 5

5

，
∴OF=

29

5

，
∴tan∠PFO=

PO

OF

=

4 29

29

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查線面角的大小的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．