Question

已知向量

1  -1

在矩陣M=

.

1 m 0 1

.

變換下得到的向量是

0  -1

．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲線y²-x+y=0在矩陣M^-1對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到的曲線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：幾種特殊的矩陣變換

專(zhuān)題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）由條件求得

1-m   -1

=

0 -1

，從而求得m 的值．
（Ⅱ）先求得M-1=

1       -1 0        1

，設(shè)曲線y²-x+y=0上任意一點(diǎn)（x，y）在矩陣M^-1所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像是（x'，y'），由矩陣變換的法則得

x=x′+y′ y=y′

代入曲線y²-x+y=0得y'²=x'，由此得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="trtdhbb" class="MathJye">

1       m 0       1

1 -1

=

1-m   -1

，所以

1-m   -1

=

0 -1

，即m=1（3分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="rnpbxn1" class="MathJye">M=

1       1 0       1

，所以M-1=

1       -1 0        1

．…（4分）
設(shè)曲線y²-x+y=0上任意一點(diǎn)（x，y）在矩陣M^-1所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像是（x'，y'）．
由

x′ y′

=

1   -1 0     1

x y

=

x-y   y

，…（5分）
所以

x-y=x′ y=y′

得

x=x′+y′ y=y′

代入曲線y²-x+y=0得y'²=x'．…（6分）
由（x，y）的任意性可知，曲線y²-x+y=0在矩陣M^-1對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的曲線方程為y²=x．…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．