已知函數(shù)（、為常數(shù)），在時取得極值．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
（3）數(shù)列滿足（且），，數(shù)列的前項和為，
求證：（,是自然對數(shù)的底）．
（1）且；（2）；（3）詳見解析．

試題分析：（1）求實數(shù)的取值范圍，因為函數(shù)在時取得極值，故在有定義，得，可對函數(shù)求導得，，則是的根，這樣可得的關(guān)系是，再由的范圍可求得的取值范圍；（2）當時，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍，當時，由得，代入得 ，對求導，判斷單調(diào)性，即可得函數(shù)的最小值；（3）求證：，即證，因此需求出數(shù)列的通項公式及前項和為，由數(shù)列滿足（且），，得，即，可求得，它的前項和為不好求，由此可利用式子中出現(xiàn)代換，由（2）知，令得，，取，疊加可證得結(jié)論．
試題解析：（1） ∵在有定義 ∴
∴是方程的根，且不是重根
∴ 且 又 ∵ ∴且          4分
（2）時   即方程在上有兩個不等實根
即方程在上有兩個不等實根
令 
 
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 
當時，且當時，
∴當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根           8分
（3）   ∴     ∴    ∴ 
∴                     10分
由（2）知  
代 得 即
∴



累加得

即      ∴   得證        14分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)圖像上一點處的切線方程為(1)求的值；(2)若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根，求的取值范圍；(3)令如果的圖像與軸交于兩點，的中點為，求證：

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù).
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求的取值范圍；
(3）討論關(guān)于的方程的根的個數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)
(1)求曲線y=f(x)在(2，f(2))處的切線方程；
(2)若g(x)=f(x)一有兩個不同的極值點．其極小值為M，試比較2M與一3的大小，并說明理由；
(3)設(shè)q>p>2，求證：當x∈(p，q)時，.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知.
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）設(shè)，證明：有最大值，且.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求的最小值；
（2）當函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應函數(shù)值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.設(shè)，試問函數(shù)在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax＋x2－xlna(a>0，a≠1)．
(1)當a>1時，求證：函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
(2)若函數(shù)y＝|f(x)－t|－1有三個零點，求t的值；
(3)若存在x1、x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，試求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為     ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，當x≠0時，f′(x)＋＞0，若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝ln f(ln 2)，則下列關(guān)于a，b，c的大小關(guān)系正確的是(  )
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．c＞b＞aD．b＞a＞c

查看答案和解析>>

同步練習冊答案