Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：①f（x）+f（-x）=1，②f（1-x）=f（x），則f（2009）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用賦值法，令x=0，求得f（0）=

1

2

，f（1）=

1

2

，令x=-x，得到f（1+x）=1-f（x），據(jù)此推得f（x）=

1

2

，問題得以解決．

解答： 解：令x=0，則：f（0）+f（-0）=1，f（1-0）=f（0），
所以f（0）=

1

2

，f（1）=

1

2

，
令x=-x，則f（1+x）=f（-x），
∴f（x）+f（1+x）=1，
即f（1+x）=1-f（x）
再令x=1，
則f（2）=1-f（1）=

1

2

，
以此類推，f（x）=

1

2

∴f（2009）=

1

2

，
故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題是一道抽象函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是巧妙的賦值，求出函數(shù)值和函數(shù)的周期性，即靈活的“賦值法”是解決抽象函數(shù)問題的基本方法．