Question

對(duì)于任意θ∈R，|sinθ-2|+|sinθ-3|≥a+

2

a

恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：

分析：由sinθ的范圍去絕對(duì)值后，求出不等式左側(cè)的代數(shù)式的范圍，再由a+

2

a

小于等于左側(cè)代數(shù)式的最小值解分式不等式求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵-1≤sinθ≤1，∴sinθ-2＜0，sinθ-3＜0，
則|sinθ-2|+|sinθ-3|=2-sinθ+3-sinθ=5-2inθ，
∴3≤5-2sinθ≤7，
∵對(duì)于任意θ∈R，|sinθ-2|+|sinθ-3|≥a+

2

a

恒成立，
∴a+

2

a

≤3，即

a2-3a+2

a

≤0，

(a-1)(a-2)

a

≤0．
由穿根法解得：a＜0或1≤a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪[1，2]．
故答案為：（-∞，0）∪[1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的值域，考查了去絕對(duì)值的方法，訓(xùn)練了分式不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．