Question

如圖長(zhǎng)度為2的線段AB夾在直二面角的兩個(gè)半面內(nèi)，，且AB與平面所成的角都是30°，AC⊥l，垂足為C，BD⊥l，垂足為D。

   （1）求直線AB與CD所成角的大小；

   （2）求二面角C―AB―D的平面角的余弦值。

Answer 1

解法一：

（1）由于且AC⊥l，則AC⊥，以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。

因?yàn)锳B=2，AB與平面所成的角都是30°，且AC⊥l于C，BD⊥l于D，則AC=1，BD=1。AD=，所以A（0，0，1）、M（1，－，0）、C（0，0，0）、

D（0，－，0）（2分） 

 

故直線AB與CD所成角為45°。

（2）設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量

由

取 

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為

由

取

由

故二面角C―AB―D的平面角的余弦值為 

解法二：

（1）在平面內(nèi)過點(diǎn)B作BE//DC，BE=DC，連結(jié)CE，EA，BC，AD，

則四邊形BECD是矩形。

所以∠ABE就是直線AB與CD所成角。

∵AB=2，⊥，AC⊥l，AC

∴AC⊥

∴∠ABC=30°。

∴AC=1，同理BD=1。

∴CE=1，AE=

∵CE⊥BE，

∴AE⊥BE。

在Rt△AEB中，sin∠ABE= 

∴∠ABC=45°.

∴直線AB與CD所成角的大小為45°

（2）∵AC⊥，AC平面ABC。

∴平面BAC⊥平面BDC，且交線是BC，

過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，則DF⊥平面BAC，

過F作FG⊥AB，垂足為G，連結(jié)DG，則DG⊥AB，

故∠DGF就是二面角C―AB―D的平面角。 

在Rt △ACB中，BC=

在Rt △BDC中，DC=

在Rt△BGF中，F(xiàn)G=BF

在Rt△DFG中，DG

故二面角C―AB―D的平面角的余弦值為