【題目】如圖，在平面四邊形中，和都是等腰直角三角形且，正方形的邊.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：

（1）由線面垂直的判斷定理可得平面則由平面幾何知識可得，據(jù)此有平面．

（2）由題意可知AD，AB，AE兩兩垂直．建立空間直角坐標系，設(shè)AB=1，據(jù)此可得平面BDF的一個法向量為，取平面ABD的一個法向量為，則二面角的余弦值為．

試題解析：

（1）正方形中，

又且，所以

又

因為和都是等腰直角三角形，

所以，

即，且，

所以．

（2）因為△ABE是等腰直角三角形，所以，

又因為，所以，

即AD，AB，AE兩兩垂直．建立如圖所示空間直角坐標系，

設(shè)AB=1，則AE=1，，

，

設(shè)平面BDF的一個法向量為，

可得，

取平面ABD的一個法向量為，

則，

故二面角的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“微信運動”已成為當(dāng)下熱門的健身方式，小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”，他隨機選取了其中的人（男、女各人），記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：

步量

性別

0~2000

2001~5000

5001~8000

8001~10000

>10000

男

1

2

3

6

8

女

0

2

10

6

2

（1）已知某人一天的走路步數(shù)超過步被系統(tǒng)評定“積極型”，否則為“懈怠型”，根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)？

積極型

懈怠型

總計

男

女

總計

附：，

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

（2）若小王以這位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來估計其所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布，現(xiàn)從小王的所有微信好友中任選人，其中每日走路不超過步的有人，超過步的有人，設(shè)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下面類比推理：

①“若2a<2b，則a<b”類比推出“若a2<b2，則a<b”；

②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”類比推出“ (c≠0)”；

③“a，b∈R，若a－b＝0，則a＝b”類比推出“a，b∈C，若a－b＝0，則a＝b”；

④“a，b∈R，若a－b>0，則a>b”類比推出“a，b∈C，若a－b>0，則a>b(C為復(fù)數(shù)集)”．

其中結(jié)論正確的個數(shù)為(　　)

A. 1B. 2C. 3D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以“你我中國夢，全民建小康”為主題“社會主義核心價值觀”為主線，為了解、兩個地區(qū)的觀眾對2018年韓國平昌冬奧會準備工作的滿意程度，對、地區(qū)的名觀眾進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下：

非常滿意

滿意

合計

合計

在被調(diào)查的全體觀眾中隨機抽取名“非常滿意”的人是地區(qū)的概率為，且.

（1）現(xiàn)從名觀眾中用分層抽樣的方法抽取名進行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿意”的、地區(qū)的人數(shù)各是多少？

（2）在（1）抽取的“滿意”的觀眾中，隨機選出人進行座談，求至少有兩名是地區(qū)觀眾的概率？

（3）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有的把握認為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系？

附：

，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主、英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)屆的震動。在1859年的時候，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想。在此之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論。若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計1000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為_________(素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù))

A. 768 B. 144 C. 767 D. 145

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，點在橢圓：上.若點，，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)橢圓的焦距為4，，是橢圓上不同的兩點，線段的垂直平分線為直線，且直線不與軸重合.

①若點，直線過點，求直線的方程；

② 若直線過點，且與軸的交點為，求點橫坐標的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：（）.

（1）在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（保留分數(shù)形式）

（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范用內(nèi)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求實數(shù)的最大值；

（2）在（1）成立的條件下，正實數(shù)，滿足，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點為某沿海城市的高速公路出入口，直線為海岸線，，，是以為圓心，半徑為的圓弧型小路.該市擬修建一條從通往海岸的觀光專線，其中為上異于的一點，與平行，設(shè).

（1）證明：觀光專線的總長度隨的增大而減小；

（2）已知新建道路的單位成本是翻新道路的單位成本的2倍.當(dāng)取何值時，觀光專線的修建總成本最低？請說明理由.

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