Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（I）求證：（）是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的{a_n}通項公式；
（II）數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂求使不等式（1+）（1+）…（1+）≥m•對任意正整數(shù)n都成立的最大實數(shù)m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ （n≥2），（2分）
∴，故數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列，（4分）
又S₁=2a₁-2²．則a₁=4，∴，
故a_n=（n+1）+2ⁿ．（6分）
（Ⅱ）∵b_n=log₂=，（7分）
不等式（1+）（1+）…（1+）≥m•，
即（1+1）（1+）…（1+）≥m•恒成立，
也即對任意正整數(shù)n都成立．（8分）
令，知，
∵=，
∴當(dāng)n∈N^*時，f（n）單調(diào)遞增，（10分）
∴f（n）≥f（1）=，則m，故實數(shù)m的最大值為．（12分）
分析：（Ⅰ）利用S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，與S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．推出a_n-2a_n-1=2ⁿ （n≥2），然后證明數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式．
（Ⅱ）利用b_n=log₂，求出表達(dá)式，化簡不等式（1+）（1+）…（1+）≥m•，通過令，比較的大小，說明f（n）單調(diào)遞增，然后求出實數(shù)m的最大值．
點評：本題考查等差關(guān)系的確定，數(shù)列求和的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．