Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若對于所有的自然數(shù)n，都有，證明{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：本小題考查等差數(shù)列的證明方法，數(shù)學歸納法及推理論證能力．
等差數(shù)列的證明是數(shù)列的常見題型，本題可用兩種方法：
一是用數(shù)學歸納法，適用于理科，因為只要能證明{a_n}的通項公式滿足等差數(shù)列的通項公式a_n=a₁+（n-1）d（n∈N），問題就可得證，這顯然是與自然序號n有關的命題，故可以選擇數(shù)學歸納法；
二是數(shù)列用定義證明，即證明a_n-a_n-1=m（常數(shù)），利用已知前n項和，首先利用a_n=s_n-s_n-1表示出a_n，然后可以計算a_n-a_n-1=m證明之，
解答：證明：法一：
令d=a₂-a₁．
下面用數(shù)學歸納法證明a_n=a₁+（n-1）d（n∈N）．
（1）當n=1時上述等式為恒等式a₁=a₁．
當n=2時，a₁+（2-1）d=a₁+（a₂-a₁）=a₂，等式成立．
（2）假設當n=k（k≥2）時命題成立，a_k=a₁+（k-1）d．由題設，有
S_k=，S_k+1=，又S_k+1=S_k+a_k+1
∴（k+1）
把a_k=a₁+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a₁+a_k+1）=2ka₁+k（k-1）d+2a_k+1．
整理得（k-1）a_k+1=（k-1）a₁+k（k-1）d．
∵k≥2，∴a_k+1=a₁+kd．即當n=k+1時等式成立．
由（1）和（2），等式對所有的自然數(shù)n成立，從而{a_n}是等差數(shù)列
法二：
當n≥2時，由題設，，．
所以a_n=S_n-S_n-1=-
同理有
a_n+1=-．
從而
a_n+1-a_n=-n（a₁+a_n）+，
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1═a₂-a₁
從而{a_n}是等差數(shù)列．
點評：等差數(shù)列的證明在高考中常見，是高考的重要題型，本題就是全國高考題．
等差數(shù)列的證明最常用的有兩種方法：1．用定義證明，即證明a_n-a_n-1=m（常數(shù)），有時題目很簡單，很快可求證，但有時則需要一定的變形技巧，這需要多做題，慢慢就會有感覺的，本題就有些復雜． 2．用等差數(shù)列的性質(zhì)證明，即證明2a_n=a_n-1+a_n+1，此法不適用于本題，對于給出數(shù)列通項公式的證明，此法比較方便．
另外本題因為是與自然序號相關的命題，所以法一運用了數(shù)學歸納法，盡管繁瑣，但思路清晰．