Question

【題目】如圖，在多面體中， 平面， 平面，且是邊長為4的等邊三角形， ， 與平面所成角的余弦值為， 是線段上一點(diǎn)．

（Ⅰ）若是線段的中點(diǎn)，證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析:（Ⅰ）利用面面垂直的判定定理即可證明;

（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩個(gè)平面的法向量,利用兩個(gè)法向量的夾角即可求解

試題解析:（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接．

∵平面， 平面，

∴平面平面．

∵是等邊三角形，

∴，

又平面，平面平面，

∴平面．

∴是在平面上的射影， 即是與平面所成角．

∵與平面所成角的余弦值為，

∴與平面所成角的正弦值為，

∴，而，

∴，∴．

法一：取的中點(diǎn)，連接， ．

∵是等邊三角形， ∴．

又平面， 平面，∴．

而平面，且，

∴平面．

∵是線段的中點(diǎn)，

∴，且．

又平面， 平面， ， ，

∴，且．

∴，且，四邊形是平行四邊形，則．

∴平面．又平面，

∴平面平面．

法二：取的中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ， ．

∴， ， ．

∴， ，

∴， ，

而平面，且．

所以平面

又平面，

∴平面平面

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，可得平面，

又，

則可取平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，

又， ，

所以．

取，則， ，即，

則 ，

，

所以二面角的平面角的正弦值為．