【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形,是矩形,平面平面,,,,為的中點.
(1)求證:;
(2)在線段上是否存在點,使二面角的大小為,若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1) 見解析(2)
【解析】分析:(1)結(jié)合題中所給的條件,利用面面垂直的條件以及題中所給的特殊幾何圖形,得到相應(yīng)的垂直關(guān)系,之后借助于線面垂直來得到線線垂直.
(2)對于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)線段上存在點,使二面角的大小為,再通過建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點的坐標(biāo),結(jié)合向量的數(shù)量積求出二面角的大小,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在,否則存在.
詳解:(1)證明:連接,
∵,,∴△為等邊三角形,
又∵為中點,∴,
又∵,∴,
∵為矩形,∴,
又∵平面平面,平面平面 ,平面,
∴平面,
又∵平面,∴,
又∵,,
∴平面,
∵平面,
∴.
(2)由(1)知平面,
∵、平面,
∴,,
又∵,以為坐標(biāo)原點,、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,
設(shè),,,,
設(shè)平面的一個法向量為,,
則即令,則,
由圖形知,平面的一個法向量,
由題意知,
即,即,
∵,∴.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在公園游園活動中有這樣一個游戲項目:甲箱子里裝有3個白球和2個黑球,乙箱子里裝有1個白球和2個黑球,這些球除顏色外完全相同;每次游戲都從這兩個箱子里各隨機地摸出2個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)
(1)在一次游戲中:①求摸出3個白球的概率;②求獲獎的概率;
(2)在兩次游戲中,記獲獎次數(shù)為X:①求X的分布列;②求X的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】若四面體的三組對棱分別相等,即,,,則________.(寫出所有正確結(jié)論的編號)
①四面體每個面的面積相等
②四面體每組對棱相互垂直
③連接四面體每組對棱中點的線段相互垂直平分
④從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱的長都可以作為一個三角形的三邊長
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【題目】某人用一網(wǎng)箱飼養(yǎng)中華鱘,研究表明:一個飼養(yǎng)周期,該網(wǎng)箱中華鱘的產(chǎn)量(單位:百千克)與購買飼料費用()(單位:百元)滿足:.另外,飼養(yǎng)過程中還需投入其它費用.若中華鱘的市場價格為元/千克,全部售完后,獲得利潤元.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)為何值時,利潤最大,最大利潤是多少元?
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【題目】已知a∈R,i是虛數(shù)單位,命題p:在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1=a+ 對應(yīng)的點位于第二象限;命題q:復(fù)數(shù)z2=a﹣i的模等于2,若p∧q是真命題,則實數(shù)a的值等于( )
A.﹣1或1
B. 或
C.
D.
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【題目】在數(shù)列{an}中,已知a1>1,an+1=an2﹣an+1(n∈N*),且 +…+ =2.則當(dāng)a2016﹣4a1取得最小值時,a1的值為= .
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【題目】某商場銷售某種品牌的空調(diào)器,每周周初購進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)器,商場每銷售一臺空調(diào)器可獲利500元,若供大于求,則每臺多余的空調(diào)器需交保管費100元;若供不應(yīng)求,則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng),此時每臺空調(diào)器僅獲利潤200元. (Ⅰ)若該商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)器,求當(dāng)周的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)周需求量n(單位:臺,n∈N)的函數(shù)解析式f(n);
(Ⅱ)該商場記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)器需求量n(單位:臺),整理得表:
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
頻數(shù) | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,若商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)器,X表示當(dāng)周的利潤(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】某輪胎集團有限公司生產(chǎn)的輪胎的寬度 (單位: )服從正態(tài)分布,公司規(guī)定:輪胎寬度不在內(nèi)將被退回生產(chǎn)部重新生產(chǎn).
(1)求此輪胎不被退回的概率(結(jié)果精確到);
(2)現(xiàn)在該公司有一批輪胎需要進(jìn)行初步質(zhì)檢,檢驗方案是從這批輪胎中任取件作檢驗,這件產(chǎn)品中至少有件不被退回生產(chǎn)部,則稱這批輪胎初步質(zhì)檢合格.
()求這批輪胎初步質(zhì)檢合格的概率;
()若質(zhì)檢部連續(xù)質(zhì)檢了批輪胎,記為這批輪胎中初步質(zhì)檢合格的批數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.
附:若,則 .
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【題目】已知圓和直線l:
(1)證明:不論取何值時,直線和圓總有兩個不同的交點;
(2)求當(dāng)取何值時,直線被圓截得的弦最短,并求最短的弦長.
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