Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知C點(diǎn)在⊙O直徑的延長(zhǎng)線上，CA切⊙O于A點(diǎn)，DC是∠ACB的平分線，交AE于F點(diǎn)，交AB于D點(diǎn)．
（1）求∠ADF的度數(shù)；
（2）若AB=AC，求AC：BC．

Answer 1

分析：（1）由弦切角定理可得∠B=∠EAC，由DC是∠ACB的平分線，可得∠ACD=∠DCB，進(jìn)而∠ADF=∠AFD，由BE為⊙O的直徑，結(jié)合圓周角定理的推論，可得∠ADF的度數(shù)；
（2）由（1）的結(jié)論，易得△ACE∽△BCA，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得

AC

BC

=

AE

AB

，又由AB=AC，可得AC：BC=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．

解答：（1）因?yàn)锳C為⊙O的切線，所以∠B=∠EAC
因?yàn)镈C是∠ACB的平分線，所以∠ACD=∠DCB
所以∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，即∠ADF=∠AFD，
又因?yàn)锽E為⊙O的直徑，所以∠DAE=90°．
所以∠ADF=

1

2

(180°-∠DAE)=45°．
（2）因?yàn)椤螧=∠EAC，所以∠ACB=∠ACB，所以△ACE∽△BCA，所以

AC

BC

=

AE

AB

，
在△ABC中，又因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠ACB=30°，Rt△ABE中，

AC

BC

=

AE

AB

=tanB=tan30°=

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是弦切角，三角形相似的性質(zhì)，其中（1）中是要根據(jù)已知及弦切角定理結(jié)合等量代換得到∠ADF=∠AFD，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到

AC

BC

=

AE

AB

=tanB．