Question

14．在平面直角坐標系xOy中，已知點P在曲線xy=1（x＞0）上，點P在x軸上的射影為M．若點P在直線x-y=0的下方，則$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設點P（t，$\frac{1}{t}$），將$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$化成關于t的表達式，結合題意得t-$\frac{1}{t}$是正數(shù)，利用基本不等式可求出$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$的最小值即可．

解答 解：設點P（t，$\frac{1}{t}$），得OP²=t²+$\frac{1}{{t}^{2}}$，而OM=t，MP=$\frac{1}{t}$，
∴$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$=$\frac{{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}}{t-\frac{1}{t}}$=$\frac{{（t-\frac{1}{t}）}^{2}+2}{t-\frac{1}{t}}$=（t-$\frac{1}{t}$）+$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，
∵點P在直線x-y=0的下方，且t＞0
∴t＞1，得t-$\frac{1}{t}$是正數(shù)，所以（t-$\frac{1}{t}$）+$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$≥2$\sqrt{2}$，
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題通過曲線上一個動點，求關于線段OP、OM、MP的分式的最小值，著重考查了曲線與方程、利用基本不等式求最值和簡單的演繹推理等知識，屬于中檔題．