Question

14．如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，$SD=\sqrt{3}AD$．
（1）求多面體ABCDS的體積；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）多面體ABCCDS的體積即四棱錐S-ABCD的體積，由此能求出結果．
（Ⅱ）以D為原點，DS，DA，DC分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-SB-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）多面體ABCCDS的體積即四棱錐S-ABCD的體積．
所以${V_{S-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{平行四邊形ABCD}}×|{SD}|=\frac{1}{3}×2a×a×\sqrt{3}a=\frac{{2\sqrt{3}{a^3}}}{3}$…（4分）
（Ⅱ）以D為原點，DS，DA，DC分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），S（$\sqrt{3}a，0，0$），B（0，a，2a），A（0，a，0），B（0，a，2a），
$\overrightarrow{DS}=（\sqrt{3}a，0，0）$，$\overrightarrow{DB}=（0，a，2a）$，
設面SBD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DS}=\sqrt{3}a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=ay+2az=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-2，1），
又∵$\overrightarrow{AB}=（0，0，2a）$，$\overrightarrow{SA}=（-\sqrt{3}a，a，0）$
∴設面SAB的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=2az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SA}=-\sqrt{3}ax+ay=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}=（1，\sqrt{3}，0）$，…（11分）
設二面角A-SB-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
所以二面角A-SB-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查多面體的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．