Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=

1

2

CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)Q，使BQ∥面PAD？說(shuō)明理由．
（2）設(shè)M為PC中點(diǎn)，PA=1，求P-ABM體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）存在點(diǎn)Q為PC中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足BQ∥面PAD；證明當(dāng)Q為PC的中點(diǎn)時(shí)，BQ∥平面PAD即可；
（2）利用等積法求出三棱錐P-ABM的體積．

解答： 解：（1）存在點(diǎn)Q為PC中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足BQ∥面PAD；
證明：延長(zhǎng)DA交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于E，連接PE，
∴B為EC中點(diǎn)；
當(dāng)Q為PC的中點(diǎn)時(shí)，BQ∥PE；
又BQ?面PAD，PE?面PAD，
∴BQ∥平面PAD；
（2）三棱錐P-ABM的體積為
V_{三棱錐P-ABM}=V_{三棱錐B-PAM}
=

1

2

V_{三棱錐B-PAC}=

1

2

V_{三棱錐P-ABC}
=

1

2

×

1

3

×1×1×

1

2

×1=

1

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的線(xiàn)面平行的判定問(wèn)題以及求錐體的體積問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)明確線(xiàn)面平行的條件是什么，錐體的體積公式是什么，以便靈活地解答問(wèn)題．