Question

已知函數(shù)f（x）=a|x+1|+x（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在[b，+∞）上為增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f （x）在 R 上具有單調(diào)性，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）= ，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[﹣1，+∞），
因?yàn)閒（x）在[b，+∞）上為增函數(shù)，
所以[b，+∞）[﹣1，+∞），
故b≥﹣1
（Ⅱ）化簡(jiǎn) 
①﹣1＜a＜1時(shí)，
當(dāng)x≥﹣1時(shí)，f（x）=（a+1）x+a是增函數(shù)，且f（x）≥f（﹣1）=﹣1；
當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f（x）=（1﹣a）x﹣a是增函數(shù)，且f（x）＜f（﹣1）=﹣1．
所以，當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，函數(shù)f （x） 在R上是增函數(shù)．
②a=1或﹣1時(shí)，易知不合題意．
③當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[﹣1，+∞）為增函數(shù)，而在（﹣∞，﹣1）上為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在R上不具有單調(diào)性；
同理，當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上也不具有單調(diào)性．
綜上可知，a的取值范圍是 （﹣1，1）