Question

已知z=a+bi（a，b∈R，i是虛數(shù)單位），z₁，z₂∈C，定義：D（z）=ⅡzⅡ=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=Ⅱz₁-z₂Ⅱ．給出下列命題：
（1）對任意z∈C，都有D（z）＞0；
（2）若

.

z

是復數(shù)z的共軛復數(shù)，則D（

.

z

）=D（z）恒成立；
（3）若D（z₁）=D（z₂）（z₁，z₂∈C），則z₁=z₂；
（4）（理科）對任意z₁，z₂，z₃∈C，結論D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立．
其中真命題是

 

．

Answer 1

考點：復數(shù)的基本概念

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）取z=0，則D（z）=|0|+|0|=0，即可判斷出正誤；
（2）由于D（

.

z

）=D（z）=|a|+|b|恒成立，即可判斷出正誤；
（3）取z₁=1+3i，z₂=3+i，滿足D（z₁）=D（z₂）（z₁，z₂∈C），但是z₁≠z₂，即可判斷出正誤；
（4）對任意z_k=a_k+b_ki∈C，（a_k，b_k∈R，k=1，2，3），可得D（z₁，z₃）=|a₁-a₃+（b₁-b₃）i|=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）=|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．利用絕對值不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤．

解答： 解：（1）取z=0，則D（z）=|0|+|0|=0，因此不是真命題；
（2）若

.

z

是復數(shù)z的共軛復數(shù)，則D（

.

z

）=D（z）=|a|+|b|恒成立，是真命題；
（3）取z₁=1+3i，z₂=3+i，滿足D（z₁）=D（z₂）（z₁，z₂∈C），但是z₁≠z₂，因此是假命題；
（4）（理科）對任意z_k=a_k+b_ki∈C，（a_k，b_k∈R，k=1，2，3），
則D（z₁，z₃）=|a₁-a₃+（b₁-b₃）i|=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，
D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）=|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．
∵|a₁-a₃|+|b₁-b₃|=|（a₁-a₂）+（a₂-a₃）|+|（b₁-b₂）+（b₂-b₃）|≤|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．
∴D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立，是真命題．
其中真命題是（2）（4）．
故答案為：（2）（4）．

點評：本題復數(shù)的運算法則、模的計算公式、絕對值不等式的性質(zhì)、新定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．