Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓，以為圓心的圓記為圓，已知圓上的點與圓上的點之間距離的最大值為21.

（1）求圓的標準方程；

（2）求過點且與圓相切的直線的方程；

（3）已知直線與軸不垂直，且與圓，圓都相交，記直線被圓，圓截得的弦長分別為，.若，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.

【解析】

（1）因為，可得圓為圓心，半徑為，設(shè)為圓心的圓記為圓，設(shè)半徑為，由圓上的點與圓上的點之間距離的最大值為，可得，即可求得圓方程，即可求得答案；

（2）分別討論切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況，當切線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，設(shè)直線到圓的距離為，由直線和圓相切，可得，求得,即可求得答案；

（3）設(shè)直線的方程為，求得圓心，圓心到直線的距離分別為，，根據(jù)幾何關(guān)系可得：，，結(jié)合，即可求得和關(guān)系式，即可求得方程，進而求得直線過定點.

（1）

圓為圓心，半徑為

設(shè)為圓心的圓記為圓，設(shè)半徑為

由圓上的點與圓上的點之間距離的最大值為.

可得

解得

圓的標準方程為.

（2）①當切線的斜率不存在時，直線方程為符合題意；

②當切線的斜率存在時，

設(shè)直線方程為，

即，

直線和圓相切，

設(shè)直線到圓的距離為

，

解得，從而切線方程為.

故切線方程為或

（3）設(shè)直線的方程為，

則圓心，圓心到直線的距離分別為，，

幾何關(guān)系可得：，

，.

由，得，

整理得，故，

即或，

直線為或，

直線過點定點或直線過定點.