Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，試問過點(diǎn)可作的幾條切線？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為（2）（3）當(dāng)時(shí)，切線有一條；當(dāng)時(shí)，切線有兩條，詳見解析

【解析】

（1）對求導(dǎo)得到，令，得到的范圍，從而得到的單調(diào)區(qū)間；

（2）令，求導(dǎo)得到，令，分，，，研究的正負(fù)，即的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性，再判斷與的關(guān)系，從而得到的范圍；

（3）切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出過的切線，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到，令，分，討論的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性，再研究其零點(diǎn)，從而得到切點(diǎn)的個數(shù)和切線的條數(shù).

解：（1）時(shí)，，

，

令，則，所以的單調(diào)減區(qū)間為.

（2）令，

，

令，∵，又，

①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，成立；

②當(dāng)時(shí)，，，，

∴在上單調(diào)遞減，成立；

③當(dāng)時(shí)，，∴在上有唯一零點(diǎn)，記為，

且在上遞減，在上遞增，

∴當(dāng)時(shí)，，不成立.

綜上：.

（3）設(shè)過的切線的切點(diǎn)為，則，

切線方程為，

又切線過，得，

即，

令，，

①當(dāng)時(shí)，，在上遞減，

由，，

所以只有一解，即切線只有一條；

②當(dāng)時(shí)，令，，

由在上單調(diào)遞減，在遞增，

又，所以，

一方面：∵，

∵，又，∴，∴，

∴在上有零點(diǎn)；

另一方面：由（2）知對恒成立，

∴對恒成立，

∴當(dāng)時(shí)，有

，

∴，又時(shí)，，∴，

∴在上有零點(diǎn)，故有兩個零點(diǎn)，即切線有兩條.

綜上，當(dāng)時(shí)，切線有一條；當(dāng)時(shí)，切線有兩條.