【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，證明：．

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先求出，分類討論，當(dāng)和時，函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)在上的最小值；

（2）分離參數(shù)后，得，令，分類討論求解的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍．

（1）因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時，因?yàn)?/span>，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上的最小值為；

當(dāng)時，若，則，若，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上的最小值為．

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為；

當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為．

（2）由題意可得，當(dāng)時，有解，即有解．

令，則．

設(shè)，則，

所以在上單調(diào)遞增，

又，所以在上有唯一的零點(diǎn)，即在上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，則，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

所以在上的最小值為，

又，即，所以，

因?yàn)?/span>在上有解，所以，即．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓以拋物線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），試問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】下列函數(shù)中，滿足“對任意的，當(dāng)時，總有”的是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）在函數(shù)的圖象上取兩個不同的點(diǎn)，令直線的斜率為，則在函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)，且，使得？若存在，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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【題目】已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，其中A在x軸上方，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則以AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____．

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，試問過點(diǎn)可作的幾條切線？并說明理由.

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【題目】在日常生活中，石子是我們經(jīng)常見到的材料，比如在各種建筑工地或者建材市場上常常能看到堆積如山的石子，它的主要成分是碳酸鈣.某雕刻師計劃在底面邊長為2m、高為4m的正四棱柱形的石料中，雕出一個四棱錐和球M的組合體，其中O為正四棱柱的中心，當(dāng)球的半徑r取最大值時，該雕刻師需去除的石料約重___________kg.（最后結(jié)果保留整數(shù)，其中，石料的密度，質(zhì)量）

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點(diǎn)且傾斜角為.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，l與C交于M，N兩點(diǎn).

（1）求C的直角坐標(biāo)方程和的取值范圍；

（2）求MN中點(diǎn)H的軌跡的參數(shù)方程.

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【題目】已知拋物線與直線只有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）①若，求證：直線過定點(diǎn)；

②若是拋物線上與原點(diǎn)不重合的定點(diǎn)，且，求證：直線的斜率為定值，并求出該定值.

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