4．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，M是橢圓上一點(diǎn)，且FM⊥x軸，若|AB|=4|FM|，那么該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

分析 令x=-c，代入橢圓方程，解得|FM|，再由|AB|=4|FM|，列出方程，利用離心率公式，即可得到．

解答 解：由于FM⊥x軸，則令x=-c，代入橢圓方程，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∵|AB|=4|FM|，
∴4×$\frac{^{2}}{a}$=2a，
∴a2=2b2，
∴c2=b2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

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9．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1作圓${x^2}+{y^2}=\frac{{{{（a-b）}^2}}}{4}$的切線，切點(diǎn)為P，切線與橢圓交于點(diǎn)Q，若$\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，則橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=x+1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以線段F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，求$\frac{|AB|}{|CD|}$的值．

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13．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，|AF|的最大值為M，|BF|的最小值為m，滿足$M•m=\frac{3}{4}{a^2}$．
（Ⅰ）若線段AB垂直于x軸時(shí)，|AB|=$\frac{3}{2}$，求橢圓的方程；
（Ⅱ） 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2，求$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{{{S_1}^2+{S_2}^2}}$的取值范圍．

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14．不等式|x-5|+|x+1|＜8的解集為（　　）
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