Question

已知數列{a_n}中的每一項都不為0，證明：{a_n}為等差數列的充分必要條件是：對任意n∈N^*，都有a₁+2a₂+4a₃+…+2^（n-1）a_n=2ⁿa_n-（2ⁿ-2）a₂+（2ⁿ-3）a₁．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：證明題,等差數列與等比數列

分析：利用已知可求得a_n+1-a_n=a₂-a₁，利用等差數列的定義a_n+1-a_n=常數可證充分性成立；若{a_n}為等差數列，錯位相減對a₁+2a₂+4a₃+…+2^（n-1）a_n求和，可求得a₁+2a₂+4a₃+…+2^（n-1）a_n=2ⁿa_n-（2ⁿ-2）a₂+（2ⁿ-3）a₁，即必要性成立．

解答： 證明：（充分性）：∵{a_n}滿足：對任意n∈N^*，都有a₁+2a₂+4a₃+…+2^（n-1）a_n=2ⁿa_n-（2ⁿ-2）a₂+（2ⁿ-3）a₁．①
①則a₁+2a₂+4a₃+…+2^（n-1）a_n+2ⁿa_n+1=2ⁿ⁺¹a_n+1-（2ⁿ⁺¹-2）a₂+（2ⁿ⁺¹-3）a₁．②
②-①得：2ⁿa_n+1=2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n-2ⁿa₂+2ⁿa₁，方程兩邊同除以2ⁿ，
得a_n+1=2a_n+1-a_n-a₂+a₁ 即：a_n+1-a_n=a₂-a₁，
設a₂-a₁=d（常數），∴{a_n}為等差數列，即充分性成立；
（必要性）：{a_n}為等差數列，設公差為d．令s_n=a₁+2a₂+4a₃+…+2^（n-1）a_n，①
2s_n=2a₁+4a₂+8a₃+…+2^（n-1）a_n-1⁺2ⁿa_n，②
①-②得：錯位相減得：-s_n=a₁+2d+4d+…+2^（n-1）d-2ⁿa_n，即s_n=2ⁿa_n-（2ⁿ-2）d-a₁，
而2ⁿa_n-（2ⁿ-2）a₂+（2ⁿ-3）a₁=2ⁿa_n-（2ⁿ-2）（a₁+d）+（2ⁿ-3）a₁=2ⁿa_n-（2ⁿ-2）d-a₁ ，上式成立，即必要性成立；
綜上所述，：{a_n}為等差數列的充分必要條件是：對任意n∈N^*，都有a₁+2a₂+4a₃+…+2^（n-1）a_n=2ⁿa_n-（2ⁿ-2）a₂+（2ⁿ-3）a₁．

點評：本題以等差數列為載體，考查充要條件的判斷，屬中檔題．