Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2ax²-3x，x∈R．
（1）當a=0時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）當x∈（0，+∞）時，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜-1；由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（2）當x∈（0，+∞）時，f（x）≥ax恒成立，等價于x²-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=x³-3x，
f′（x）=3x²-3，
由f′（x）＞0，得x＞1或x＜-1；由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，-1]，[1，+∞），f（x）的遞減區(qū)間為（-1，1），
x=-1時，f（x）取極大值f（-1）=2；
x=1時，f（x）取極小值為f（1）=-2．
（2）當x∈（0，+∞）時，f（x）≥ax恒成立，
等價于x²-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立．
令g（x）=x²-2ax-（a+3），
因為△=（-2a）²+4（a+3）=4（a+

1

2

）²+11＞0，
故x²-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立，
等價于a＜0，且g（0）≥0，
解得a≤-3，
∴a的取值范圍是（-∞，-3]．

點評：本題考查函數(shù)極值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．