已知函數(shù)f（x）=2ax3-9x2+6（a-2）x+2，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）由已知得f'（x）=6ax2-18x+6a-12，f'（1）=6a-18+6a-12=0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的值．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f'（x）=12x2-18x=6（2x-3），由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值．
解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2ax3-9x2+6（a-2）x+2，
∴f'（x）=6ax2-18x+6a-12．…（2分）
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f'（1）=0，
∴f'（1）=6a-18+6a-12=0，∴實(shí)數(shù)a=
5
2
．…（4分）
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=
5
2
時(shí)，f（x）取得極小值，故a=
5
2
．…（6分）
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=4x3-9x2+2．
∵f'（x）=12x2-18x=6（2x-3），∴f′(
3
2
)=0．…（8分）
∵在區(qū)間[0，
3
2
)上，f'（x）＜0；在區(qū)間(
3
2
，3]上，f'（x）＞0，
∴在區(qū)間[0，
3
2
)上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
在區(qū)間(
3
2
，3]上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．（10分）
∴f(x)最小值=f(x)極小值=f(
3
2
)=4(
3
2
)3-9(
3
2
)2+2=-
19
4
．…（11分）
∵f（0）=2，f（3）=4×33-9×32+2=29，
∴f（x）最大值=29．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-2ax2-3x，x∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=-2asinx+a+b的值域?yàn)閇-5，4]，
（1）求f（x）表達(dá)式；
（2）求出f（x）取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x2+bx+c，(-4≤x＜0)
-x+3，(x≥0)
，若f（-4）=f（0），f（-2）=-1，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并指出函數(shù)的定義域和值域．
（3）若方程f（x）=k有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，a3和a5是方程x2-14x+45=0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且有Sn=
1-bn
2
（n∈N*）
（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)；
（2）若{an•bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且ax2+（a-1）x-
2
3
≤Tn對(duì)任意n∈N*恒成立，試求x的取值集合，其中a∈R．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

判斷函數(shù)f（x）=x3-2x2+5在區(qū)間[-2，2]上的單調(diào)性，并求其在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R均有f（x+T）=T•f（x），則稱f（x）為T線性相關(guān)函數(shù)．
（1）判斷g（x）=x是否為T線性相關(guān)的函數(shù)；
（2）若h（x）=sinkx為T線性相關(guān)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=f（x）+
1
x
在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若對(duì)于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一三角形的三邊長，則稱f（x）為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）=
ex+t
ex+1
是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是
 
．

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