Question

【題目】定義下凸函數(shù)如下：設(shè)f（x）為區(qū)間I上的函數(shù)，若對任意的x1 ， x2∈I總有f（ ）≥ ，則稱f（x）為I上的下凸函數(shù)，某同學(xué)查閱資料后發(fā)現(xiàn)了下凸函數(shù)有如下判定定理和性質(zhì)定理： 判定定理：f（x）為下凸函數(shù)的充要條件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)．
性質(zhì)定理：若函數(shù)f（x）為區(qū)間I上的下凸函數(shù)，則對I內(nèi)任意的x1 ， x2 ， …，xn ， 都有 ≥f（ ）．
請問：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設(shè)f（x）=sinx，x∈（0，π），則f′（x）=cosx，則f″（x）≤﹣sinx，x∈（0，π）， 由當(dāng)x∈（0，π），0＜sin≤1，則f″（x）＜0成立，則f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函數(shù)，
由凸函數(shù)的性質(zhì)可知： ≤f（ ）．
則sinA+sinB+sinC≤3sin（ ）=3×sin = ，
∴sinA+sinB+sinC的最大值為 ，
所以答案是： ．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．